במסעותיו הרבים ברחבי הארץ היה מקיים את מה שנאמר במסכת “אבות”: הוה מתלמידיו של אהרן – אוהב שלום ורודף שלום, אוהב את הבריות ומקרבן לתורה”. דברים אלו היה חלק מאישיותו של הרב אלישע זצ”ל.

באחד מביקוריו בעיר שדרות בתקופה הקשה של מתקפת הקסאמים שגבו גם אבידות בנפש התוודע הרב אלישע זצ”ל אל שלמה סוויסה ז”ל שהיה חולה בנפרוניה ונזקק להשתלת כיליה. שלמה ז”ל לא ידע מה לעשות ואל מי לפנות. כאשר שמע זאת הרב אלישע, הוא פנה אליי אישית מתוקף תפקידי כמנכ”ל עמותת “מרפא לחיים” אז ושאל בעצתי. ללא אומר ודברים מסרתי לו טופס בקשת סיוע שבו צוינו המסמכים שיש לצרף כדי שיעביר אותם לשלמה וזה ישלח אותם למשרדי העמותה. למעשה לא כך היה אלא הרב אלישע בכבודו ובעצמו טרח להביא את המסמכים אל משרד העמותה הקרוב לביתו. משנבדקו המסמכים ונמצא שהכל כשר, נערכה מגבית מיוחדת עבור שלמה ובסיומה הועברו אליו סך כמה עשרות אלפי שקלים למימון חלקי של הניתוח.
זה היה הרב אלישע זצ”ל ואין זה המקרה היחיד שבו נהג כך.
מעולם לא החזיק עצמו לאישיות ותמיד נכון היה לעזור לכל אדם מבלי לחוס על כבודו שלא היה שווה מאומה בעיניו מול כבודם של כלל הבריות.